álgebra de bool

Fecha: 04/06/2012
by: angie vargas..!!


Álgebra Booleana
La herramienta fundamental para el análisis y diseño de circuitos digitales es el Álgebra Booleana.
Esta álgebra es un conjunto de reglas matemáticas (similares en algunos aspectos al álgebra
convencional), pero que tienen la virtud de corresponder al comportamiento de circuitos basados en
dispositivos de conmutación  (interruptores, relevadores, transistores, etc). En este capítulo se
presentan los postulados que definen el álgebra booleana, se presentan en forma de teoremas los
resultados más importantes, se presentan también los tres ejemplos clásicos de álgebras boolenas
(lógica proposicional, álgebra de conjuntos, álgebra de switches) y herramientas básicas como tablas
de verdad y diagramas de Venn.


POSTULADOS DEL ÁLGEBRA DE BOOLE
Postulado 1. Definición. El álgebra booleana es un sistema algebraico definido en un conjunto
B, el cual contiene dos o más elementos y entre los cuales se definen dos operaciones
denominadas "suma u operación OR" ( + ) y "producto o multiplicación u operación AND" ( ), las
cuales cumplen con las siguientes propiedades:
Postulado 2. Existencia de Neutros. Existen en B el elemento neutro de la suma, denominado
O y el neutro de la multiplicación, denominado 1, tales que para cualquier elemento x de s:
(a) x + O = x  (b) x. 1 = x
Postulado 3. Conmutatividad. Para cada x, y en B:
(a) x+y = y+x  (b) x y =y x
Postulado 4. Asociatividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x + (y + z) = (x + y) + z  (b) x (y z) = (x y)  z
Postulado 5. Distributividad. Para cada x, y, z en B:
(a) x+(y z)=(x+y) (x+z)  (b) x (y+z)=(x y)+(x z)
Postulado 6. Existencia de Complementos. Para cada x en  B existe un elemento único
denotado x (también denotado x’), llamado complemento de x tal que
(a) x+x = 1  (b) x  x = O


TEOREMAS DEL ALGEBRA BOOLEANA
A continuación se presenta un conjunto de resultados fundamentales; pero basados en los postulados del
1 al 6 presentados en la sección 4.1 y que por lo tanto son válidos para cualquier álgebra de Boole. Estos
resultados son presentados a manera de Teoremas y junto con los seis postulados representan las reglas
del juego para cualquiera que desee trabajar con el álgebra booleana.
La manera de demostrar los teoremas siguientes se puede basar en ideas intuitivas producto de la
familiaridad con algún álgebra booleana en particular, (en diagramas de Venn, o bien, en circuitos con
switches o en tablas de verdad) con la única condición de que se respete al pie de la letra los 6
postulados fundamentales. En estas notas sólo se usan razonamientos basados en los seis postulados.
Antes de presentar los teoremas es conveniente mencionar el siguiente principio que se deriva
directamente de la manera en que fueron presentados los seis postulados fundamentales, es decir, del
hecho de que cada postulado tiene dos incisos los cuales son duales uno del otro.
Principio de Dualidad. Si una expresión booleana es verdadera, su expresión dual también lo es.
Expresiones duales. Dos expresiones se dicen duales una de la otra, si una se puede obtener de la otra
cambiando las operaciones ( + ) por ( ) y viceversa y cambiando los O's por 1 's y viceversa.
Ejemplo.
La expresión A + B = 1 es dual de la expresión  A B = O,
Todas las expresiones de los incisos (a) de los postulados del álgebra booleana son duales de las
exprsiones de los incisos (b) correspondientes.